🧠 一、什么是分形几何（Fractal Geometry）？

  • 分形是局部与整体结构相似的图形结构，自然界中广泛存在（如雪花、树木、血管等）。
  • 数学上具有：自相似性、递归性、非整数维度。
  • 通过 Python 可以轻松进行建模、绘图、动态演示。

🧮 二、复数迭代：曼德尔布洛特集与朱利亚集

1. 理论基础

  • 曼德尔布洛特集定义为：
    zn+1=zn2+c,z0=0
    若 zn 不发散，则 c 属于曼德尔布洛特集。

2. 实现代码（曼德尔布洛特集）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot(c, max_iter=100):
    z = 0
    for i in range(max_iter):
        z = z*z + c
        if abs(z) > 2:
            return i
    return max_iter

w, h = 800, 800
image = np.zeros((h, w))
xmin, xmax = -2, 1
ymin, ymax = -1.5, 1.5

for x in range(w):
    for y in range(h):
        c = complex(x / w * (xmax - xmin) + xmin, y / h * (ymax - ymin) + ymin)
        image[y, x] = mandelbrot(c)

plt.imshow(image, cmap='hot', extent=(xmin, xmax, ymin, ymax))
plt.title("Mandelbrot Set")
plt.show()

3. 动态展示与放大

  • 使用 matplotlib.animation 或 ipywidgets.interact 实现缩放动态展示。

🌿 三、L系统（Lindenmayer System）模拟植物分形

1. 理论结构

  • L系统使用字符串重写规则定义图形生长。
  • 典型规则结构：Variables: F Axiom: F Rules: F → F+F−F−F+F

2. Python 实现 + Turtle 绘图

import turtle

def apply_rules(axiom, rules, iterations):
    for _ in range(iterations):
        axiom = ''.join(rules.get(c, c) for c in axiom)
    return axiom

def draw_l_system(t, instructions, angle, step):
    for cmd in instructions:
        if cmd == 'F':
            t.forward(step)
        elif cmd == '+':
            t.right(angle)
        elif cmd == '-':
            t.left(angle)

# 示例：分形树
rules = {'F': 'FF+[+F-F-F]-[-F+F+F]'}
axiom = 'F'
instr = apply_rules(axiom, rules, 4)

t = turtle.Turtle()
t.speed(0)
t.left(90)
t.penup()
t.goto(0, -200)
t.pendown()

stack = []

for cmd in instr:
    if cmd == 'F':
        t.forward(5)
    elif cmd == '+':
        t.right(25)
    elif cmd == '-':
        t.left(25)
    elif cmd == '[':
        stack.append((t.pos(), t.heading()))
    elif cmd == ']':
        pos, angle = stack.pop()
        t.penup()
        t.goto(pos)
        t.setheading(angle)
        t.pendown()

turtle.done()

🧬 四、生物分形模型（血管、叶脉、肺泡等）

1. 特征概述

生物结构分形特征
肺泡空间填充、自相似性
血管系统分支型递归结构
树木枝干黄金角、分叉 L 系统
脑神经复杂度增长、分形维数高

2. Python 递归绘制树状血管模型

import turtle

def draw_branch(length, level):
    if level == 0:
        return
    turtle.forward(length)
    turtle.left(30)
    draw_branch(length * 0.7, level - 1)
    turtle.right(60)
    draw_branch(length * 0.7, level - 1)
    turtle.left(30)
    turtle.backward(length)

turtle.speed(0)
turtle.left(90)
turtle.penup()
turtle.goto(0, -250)
turtle.pendown()

draw_branch(100, 6)
turtle.done()

🎨 五、可视化技巧与扩展方向

1. 可视化优化

  • 使用 colormap 创建热力图、深度图
  • 加入 matplotlib.animation 制作视频
  • 借助 pygame、vispy 加速渲染

2. 与 AI / 生物建模结合

  • 用 GAN 学习真实叶片图像分形结构
  • 结合 OpenCV 模拟自然界裂纹分布
  • 建模血管生长、肺结构发展等

📦 六、常用 Python 分形库推荐

库名称用途
turtle简单绘图，适合 L 系统与递归演示
matplotlib热力图、2D 分形图像绘制
numpy数值计算，复数迭代核心
fractals专用分形生成库（需查找）
Pygame高性能实时图形渲染

🧪 七、项目实战建议

项目名称类型难度
曼德尔布洛特集放大器复数渲染★★★
分形树生长模拟L系统/递归★★☆
叶片纹理模拟器图像分析+L系统★★★
血管生成器（仿真）医学建模★★★★

📚 参考资料与延伸阅读

如你需要：

✅【可运行 Jupyter Notebook】版本
✅【生成高清演示图集（SVG、PNG）】
✅【打包为 PDF 教案/讲义】
✅【转为视频脚本或教学幻灯片格式】

请告诉我，我可以为你生成相应内容。是否需要我生成 .ipynb 教学文件？