线性代数：A转置乘以A可逆

你问的是“线性代数中，为什么 ATA 可逆”，我给你详细解释一下相关原理和条件。

1. 问题背景

给定一个矩阵 A（假设是 m×n 矩阵），为什么在某些条件下，矩阵 ATA 是可逆的（即非奇异、满秩）？

2. 关键结论

• ATA 是一个 n×n 的对称半正定矩阵。
• 当且仅当矩阵 A 列向量线性无关（即 A 的列满秩，秩为 n），ATA 才是 正定矩阵，从而可逆。

3. 证明思路简述

1. 对称和半正定
   对任意非零向量 x∈Rn，xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)=∥Ax∥2≥0所以 ATA 是半正定。
2. 正定条件
   如果 ATA 不是正定，则存在非零向量 x 使得xT(ATA)x=∥Ax∥2=0这说明 Ax=0，即 x 在 A 的零空间中。
3. 列满秩
   若 A 的列向量线性无关（秩为 n），那么 ker⁡(A)={0}，
   所以不存在非零 x 使 Ax=0，则 xTATAx>0（正定）。
4. 正定矩阵可逆
   正定矩阵一定是非奇异的，因此 ATA 可逆。

4. 结论总结

5. 应用举例

• 最小二乘法
  正是利用 ATA 可逆的条件，求解线性方程组的最小二乘解：x=(ATA)−1ATb