Morlet小波分析详解

太好了，阿杰 👍
“Morlet 小波分析（Morlet Wavelet Analysis）” 是信号处理、地震分析、语音识别、脑电(EEG)分析等常用的时频分析工具。
它结合了 傅里叶变换的频域优势 和 小波变换的时域局部化能力，可以揭示信号在不同时间点上的频率变化。

下面我给你讲一个结构清晰、图像化的 Morlet 小波分析详解👇

🎯 一、背景与动机

传统的 傅里叶变换（Fourier Transform） 有个致命问题：
它只能告诉你“信号里有哪些频率”，但无法告诉你这些频率“在什么时候出现”。

➡️ 时域丢失问题：
对于非平稳信号（频率随时间变化），傅里叶变换就不够用了。

Morlet 小波变换（Morlet Wavelet Transform） 就是为了解决这个问题。
它在时域与频域上同时具有局部化特性。

📘 二、Morlet 小波定义

Morlet 小波是由一个复指数函数和一个高斯包络函数相乘得到的。

1️⃣ 连续形式：

[
\psi(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{j\omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}}
]

其中：

• ( e^{j\omega_0 t} )：复正弦波（控制频率）
• ( e^{-\frac{t^2}{2}} )：高斯包络（控制时间局部化）
• ( \omega_0 )：中心角频率，一般取 5～6

➡️ 这使得 Morlet 小波兼具 频率分析能力 和 时间定位能力。

🧠 三、核心思想：伸缩与平移

在小波变换中，我们通过平移（时间位置）和伸缩（尺度变化）来分析信号的不同部分。

Morlet 小波的伸缩和平移形式：

[
\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \psi\left(\frac{t – b}{a}\right)
]

参数解释：

🔍 四、Morlet 小波变换公式

信号 ( x(t) ) 的连续小波变换（CWT）为：

[
W(a,b) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) , \psi_{a,b}^*(t) , dt
]

其中：

• ( W(a,b) )：小波系数（表示信号在尺度 a、时间 b 下的能量）
• ( \psi_{a,b}^*(t) )：Morlet 小波的复共轭
• 通过改变 a、b，我们得到一个 时频图（Time-Frequency Representation）

🌊 五、与傅里叶变换对比

🎨 六、可视化理解（概念图）

时间轴 →→→

传统傅里叶：一个整体频谱（全局分析）
Morlet小波：移动的“频率窗口”，局部分析每一段信号

Morlet 小波可以被理解为一个“带有高斯窗的正弦波”，
它在信号上滑动（平移 b），同时可伸缩（调整 a），从而观察信号在不同时间点的频率变化。

🧮 七、Python 实现示例

用 pywt（PyWavelets）库或 scipy.signal.cwt 进行 Morlet 小波分析。

示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import morlet, cwt

# 生成测试信号：频率变化的正弦波
t = np.linspace(0, 2, 400)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 20 * t * (t > 1))

# Morlet小波分析
widths = np.arange(1, 64)
cwt_matrix = cwt(x, morlet, widths)

plt.figure(figsize=(10,6))
plt.imshow(abs(cwt_matrix), extent=[0, 2, 1, 64], cmap='jet', aspect='auto',
           vmax=abs(cwt_matrix).max(), vmin=0)
plt.title("Morlet Wavelet Transform (CWT)")
plt.ylabel("Scale")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.show()

👉 输出的图像显示：

• y轴是“尺度（scale）”或“对应频率”；
• x轴是时间；
• 颜色表示信号能量强度。

📊 八、结果解读

在上面的例子中：

• 前 1 秒信号频率约 5 Hz；
• 后 1 秒信号频率约 20 Hz；
• 小波变换图中可看到“低频高能 → 高频高能”的过渡，非常直观。

🧩 九、Morlet 小波的优缺点

🧭 十、Morlet 小波的应用领域

✅ 十一、小结速览