好的，阿杰，我给你详细讲讲经典的 “牛吃草”问题，并带上公式推导和解题思路。

牛吃草问题概述

这是一个典型的工程问题或工作量问题，本质是 “总量 = 人/物 × 时间 × 单位消耗/产量” 的问题。通常出现在数学和逻辑题中。

经典题型

假设有一片草地，有若干只牛吃草：

  • 已知牛的数量、吃草速度和草的生长速度
  • 问：若改变牛的数量，多久吃完草？

基本假设

  1. 草地原有草量 = SS
  2. 草每天生长量 = GG
  3. 牛每天吃草量 = CC （每头牛）
  4. 牛的数量 = NN
  5. 草地被吃完时间 = TT

公式推导

每天草的净变化量： 剩余草量=S+G⋅t−C⋅N⋅t\text{剩余草量} = S + G \cdot t – C \cdot N \cdot t

当草被吃完时，剩余草量 = 0： S+G⋅T−C⋅N⋅T=0S + G \cdot T – C \cdot N \cdot T = 0

整理公式： S=(C⋅N−G)⋅TS = (C \cdot N – G) \cdot T

于是： T=SC⋅N−GT = \frac{S}{C \cdot N – G}

注意：这里假设 C⋅N>GC \cdot N > G，否则草永远吃不完。

经典例题

题目：
一片草地，原有草 1000 千克，每天生长 50 千克。4 头牛吃完需要 20 天。问：如果有 5 头牛，需要多少天吃完？

解题步骤

  1. 已知条件：
    • 4 头牛，20 天吃完
    • 草每天生长 50 千克
  2. 先算每头牛每天吃草量 CC：

S+G⋅T=C⋅N⋅TS + G \cdot T = C \cdot N \cdot T

代入： 1000+50⋅20=C⋅4⋅201000 + 50 \cdot 20 = C \cdot 4 \cdot 20 1000+1000=80C1000 + 1000 = 80C C=200080=25千克/天C = \frac{2000}{80} = 25 \text{千克/天}

  1. 5 头牛吃完时间 T2T_2：

T2=SC⋅N2−G=100025⋅5−50=1000125−50=100075≈13.33天T_2 = \frac{S}{C \cdot N_2 – G} = \frac{1000}{25 \cdot 5 – 50} = \frac{1000}{125 – 50} = \frac{1000}{75} \approx 13.33 \text{天}

✅ 答：约 13 天又 8 小时。

拓展技巧

  1. 多牛多天问题：可用“工作量法”：

总草量 + 生长量=牛总吃量\text{总草量 + 生长量} = \text{牛总吃量}

  1. 草生长量为零：公式简化为：

T=SC⋅NT = \frac{S}{C \cdot N}

  1. 逆推问题：已知天数和牛数量，可求草量或生长量。