阿杰，这个问题是高数的核心知识点之一：什么时候极限存在？什么时候极限不存在？
我帮你从概念 → 判定 → 常见情况，做一个系统梳理。

📘 一、极限存在的条件

设函数 f(x) 在某点邻域内有定义（可能除去该点本身），如果：lim⁡x→af(x)=L(L 为有限实数)

那么我们称 极限存在，要求：

1. 左极限 = 右极限lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=L
2. 极限值有限
   如果极限为 +∞ 或 −∞，则称为“无穷大”或“发散”，极限不存在。

📘 二、极限不存在的情况

常见几类：

1. 左右极限不相等
   • 例：f(x)=∣x∣x,lim⁡x→0−f(x)=−1, lim⁡x→0+f(x)=1左右极限不同 → 极限不存在。
2. 极限趋于无穷大
   • 例：f(x)=1×2,lim⁡x→0f(x)=+∞虽然无限增大，但不收敛到有限值 → 极限不存在。
3. 函数在邻域内震荡，无趋近某个定值
   • 例：f(x)=sin⁡1x,lim⁡x→0f(x)不存在因为 sin⁡(1/x) 在 [−1,1] 间剧烈震荡，没有稳定极限。

📘 三、典型例子对比

✅ 极限存在：lim⁡x→0sin⁡xx=1

• 左右极限相等，值有限。

❌ 极限不存在：lim⁡x→01x

• 左极限 → −∞，右极限 → +∞，所以不存在。

📘 四、学习建议

1. 先判定左右极限，不相等 → 不存在。
2. 再判定有无穷大，若发散 → 不存在。
3. 遇到震荡函数（如 sin⁡(1/x)、cos⁡(1/x)） → 大概率不存在。

✅ 总结：

• 极限存在：左右相等，值有限。
• 极限不存在：左右不等、无穷发散、震荡无界。