好的，这几个变换（FT、FS、DFT、DTFT、DFS、FFT）名字看着很像，实际上它们之间的关系是一套**“连续 ↔ 离散” + “时域 ↔ 频域”**的家族谱。
我给你从物理概念到数学定义，再到它们的联系画一个完整的思路，这样你不光能背下来，还能真正理解。

1. 家族成员简介

名称全称适用对象结果域特点
FTFourier Transform 傅里叶变换连续时间、非周期信号连续频率最基础的“时域→频域”
FSFourier Series 傅里叶级数连续时间、周期信号离散频率周期信号可分解成若干谐波
DTFTDiscrete-Time Fourier Transform 离散时间傅里叶变换离散时间、非周期信号周期连续频率频域是 2π 周期的连续函数
DFSDiscrete Fourier Series 离散傅里叶级数离散时间、周期信号离散频率本质上是 DTFT 的采样版
DFTDiscrete Fourier Transform 离散傅里叶变换有限长离散信号（假设周期延拓）离散频率数值计算可实现
FFTFast Fourier Transform 快速傅里叶变换计算方法离散频率计算 DFT 的快速算法（复杂度 O(NlogN)）

2. 信号分类维度

傅里叶理论的分类，主要看两个维度：

  1. 时间域是连续还是离散
  2. 信号是周期的还是非周期的
时间域周期性对应变换
连续时间 + 非周期FT
连续时间 + 周期FS
离散时间 + 非周期DTFT
离散时间 + 周期DFS

3. 它们之间的关系

可以用一张逻辑图表示：

连续非周期 (FT) <——采样时间——> 离散非周期 (DTFT)
     ↑                                   ↑
 周期化时间 (FS) <——采样时间——> 离散周期 (DFS)
  • FT ↔ FS：周期化信号的 FT → 变成 FS（频域离散化）
  • FT ↔ DTFT：时间离散化（采样）→ 频域周期化
  • DTFT ↔ DFS：时间再周期化 → 频域再离散化
  • DFT：实际上就是 DFS，但加上“有限长截断 + 计算实现”
  • FFT：只是 DFT 的高效算法

4. 从 FT 到 DFT 的过程（四步走）

  1. 连续非周期（FT）
    X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdtX(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt
  2. 时间周期化 → FS
    周期信号 xT(t)x_T(t) → 用谐波表示
  3. 时间离散化（采样）→ DTFT
    X(ω)=∑n=−∞∞x[n]e−jωnX(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}，频域变成 2π 周期
  4. 时间有限长 + 假设周期延拓 → DFT
    X[k]=∑n=0N−1x[n]e−j2πkn/NX[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2\pi k n / N}
    这就是计算机能做的

5. 核心记忆口诀

时域采样 → 频域周期化
时域周期化 → 频域采样化
有限长离散信号的 DFT = 假设它是周期的 DFS
FFT 只是计算 DFT 的快刀