几何分布（Geometric Distribution）是一种离散概率分布，用于描述一次次独立重复试验中，第一次成功所需的试验次数。

🔢 一、定义

在一系列独立的伯努利试验中（每次试验只有两种结果：“成功”或“失败”），设：

  • 每次试验成功的概率为 p
  • 失败的概率为 1−p

几何分布随机变量 X 表示第一次成功出现在哪一轮，取值为 1,2,3,…

📘 二、概率质量函数（PMF）

几何分布的概率质量函数为：P(X=k)=(1−p)k−1⋅p,k=1,2,3,…

意思是：

  • 前 k−1 次试验都失败，第 k 次试验成功

✅ 举例：
如果投掷硬币直到第一次正面朝上（成功），硬币正面概率为 p=0.5，那么：P(X=3)=(1−0.5)2⋅0.5=0.25⋅0.5=0.125

📊 三、期望与方差

  • 期望值（数学期望）：E[X]=1p
  • 方差：Var(X)=1−pp2

📈 四、分布函数（CDF）

几何分布的累计分布函数（CDF）是：P(X≤k)=1−(1−p)k

🧠 五、性质

  1. 记忆无关性（Memoryless）
    几何分布是唯一的离散分布具有记忆无关性，即：P(X>m+n∣X>m)=P(X>n)也就是说，不管已经失败了多少次，下一次成功的概率始终不变。
  2. 伯努利试验模型
    几何分布本质上来自重复的伯努利试验，是二项分布在“第一次成功”场景下的特例。

📌 六、实际应用场景

场景几何分布解释
电话客服接通成功某客服拨打多少次才第一次打通
网络请求成功网络请求重复尝试，直到第一次成功
工业质检连续检测产品，第一次发现不合格的次数
游戏开箱开多少次箱子才开出稀有物品

🔧 七、Python 示例代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import geom

p = 0.3  # 成功概率
x = np.arange(1, 15)
pmf = geom.pmf(x, p)

plt.bar(x, pmf)
plt.title(f'几何分布 PMF (p={p})')
plt.xlabel('X = 第几次试验成功')
plt.ylabel('P(X)')
plt.grid(True)
plt.show()

如果你还想了解 负几何分布（直到失败前成功的次数） 或几何分布与其他分布的关系，也可以告诉我。