多变量微积分笔记10 —— 二重积分的应用

二重积分是多变量微积分中的一个重要工具，它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个领域。二重积分可以用来计算平面区域内的面积、质量、电荷分布、重心、流量等问题。在这一部分，我们将探讨二重积分的常见应用及其具体解法。

一、二重积分的基础回顾

二重积分是对一个二维区域内的函数进行积分。假设函数 f(x,y) 在区域 D 上连续，则其二重积分定义为：∬Df(x,y) dx dy

其中，区域 D 是平面上一个有界区域，函数 f(x,y) 在 D 上连续，且积分的过程是先对 x 积分，再对 y 积分。

几何意义：

  • 面积：若 f(x,y)=1，则二重积分表示区域 D 的面积。
  • 质量：若 f(x,y) 表示质量密度，则二重积分表示区域 D 上的总质量。

重心：二重积分还可以用来求得区域的重心，特别是通过求解如下公式来确定 D 区域的重心：xˉ=1M∬Dxf(x,y) dx dy,yˉ=1M∬Dyf(x,y) dx dy

其中 M 是区域 D 上的总质量，即：M=∬Df(x,y) dx dy

二、二重积分的常见应用

1. 计算平面区域的面积

在平面区域 D 上，若 f(x,y)=1，则二重积分就变成了计算该区域的面积。假设区域 D 是由 x 和 y 组成的矩形或其他几何形状，可以通过二重积分求解其面积。

例如，计算矩形区域 D=[a,b]×[c,d] 的面积：面积=∬D1 dx dy=∫ab∫cd1 dy dx=(b−a)(d−c)

2. 计算质量

若某区域 D 上的物体的质量分布是连续的，且密度函数为 f(x,y)，则该区域的总质量可以通过二重积分来计算：M=∬Df(x,y) dx dy

例如，若密度函数为 f(x,y)=2x+3y，且区域 D 为 x 和 y 的矩形 [0,1]×[0,2]，则总质量 M 为：M=∬D(2x+3y) dx dy=∫01∫02(2x+3y) dy dx

计算得到：M=∫01[2x⋅y+3y22]02 dx=∫01(4x+6) dxM=[2×2+6x]01=2+6=8

3. 计算质心（重心）

质心是物体的“平均位置”，可以通过二重积分来求得。在二维空间中，物体的质心坐标 (xˉ,yˉ) 可以通过以下公式计算：xˉ=1M∬Dxf(x,y) dx dy,yˉ=1M∬Dyf(x,y) dx dy

其中 M 是区域 D 上的总质量。

假设密度函数为 f(x,y)=1（均匀密度），且区域 D 为 [0,1]×[0,1] 的单位正方形，计算质心 (xˉ,yˉ)：M=∬D1 dx dy=面积=1xˉ=1M∬Dx dx dy=11∫01∫01x dy dx=∫01x dx=x22∣01=12

同理，yˉ=12。因此，正方形的质心坐标为 (12,12)。

4. 计算流量

在流体力学中，流量是描述流体在某一区域内的流动情况。假设流体的速度分布由矢量场 v(x,y)=(vx(x,y),vy(x,y)) 给出，则流量（通过区域 D 的总流量）可以通过以下公式计算：Q=∬D(vx(x,y)+vy(x,y)) dx dy

这里，vx 和 vy 分别表示流体在 x 和 y 方向的速度。

5. 计算电荷

在电学中，电荷密度分布通常由函数 ρ(x,y) 表示。电荷总量可以通过二重积分计算：Q=∬Dρ(x,y) dx dy

例如，假设 ρ(x,y)=x+y，且区域 D 为正方形 [0,1]×[0,1]，则电荷总量为：Q=∬D(x+y) dx dy=∫01∫01(x+y) dy dx

计算得到：Q=∫01[x⋅y+y22]01 dx=∫01(x+12) dxQ=[x22+x2]01=12+12=1

三、极坐标下的二重积分

在某些问题中，特别是当区域 D 是圆形或环形时，使用极坐标来计算二重积分更加方便。极坐标与直角坐标的关系为：x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ

二重积分的表达式变为：∬Df(x,y) dx dy=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ

这里的 r 是雅可比行列式的结果，表示坐标变换后的增量。

例子：计算圆形区域的面积

假设区域 D 是半径为 R 的圆，使用极坐标来计算其面积：面积=∬D1 dx dy=∫02π∫0Rr dr dθ

计算得到：\text{面积} = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{R^2}{2} \, d\theta = \

frac{R^2}{2} \times 2\pi = \pi R^2
]

四、总结

二重积分作为多变量微积分中的重要工具，具有广泛的应用场景，如计算面积、质量、质心、流量等。掌握二重积分的应用，可以帮助我们更好地解决实际问题，尤其在物理、工程和经济领域中有着不可替代的作用。通过掌握直角坐标和极坐标下的二重积分技巧，我们能够高效地进行各种复杂的积分计算。