阿杰，我给你整理一份 圆周角定理详解，包括定义、公式、性质、证明思路和例题。

一、圆周角定理（Inscribed Angle Theorem）

1. 定义

  • 圆周角：顶点在圆上、两边与圆相交所形成的角，称为圆周角。
  • 圆心角：顶点在圆心、两边经过圆上两点形成的角。

圆周角定理：

圆周角的度数等于它所对应的圆心角的一半。

公式表示： ∠ABC=12∠AOC\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC

其中：

  • A,B,CA, B, C 在圆上
  • OO 为圆心
  • ∠ABC\angle ABC 是圆周角，顶点在圆上
  • ∠AOC\angle AOC 是圆心角，顶点在圆心，跨越同一弧

2. 性质总结

  1. 相同弧所对的圆周角相等
    • 例如：∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC，顶点在圆上，跨越同一条弧 AC
  2. 圆周角跨半圆是直角
    • 圆周角所对的弧是半圆时，圆周角为 90°
    • 这是 直角三角形内接圆的经典性质
  3. 圆内接四边形
    • 圆内接四边形对角互补
    • 由圆周角定理可以推导出：∠A+∠C=180°\angle A + \angle C = 180°

3. 证明思路（常用方法）

方法一：以圆心连线

  1. 连接圆周角的顶点与圆心，得到圆心角
  2. 利用等腰三角形性质（圆心到圆上各点半径相等）
  3. 推导出圆周角 = 圆心角 / 2

方法二：分情况讨论

  1. 顶点在圆弧上方
  2. 顶点在圆弧下方
  3. 顶点在圆弦延长线上

各种情况均可利用三角形内角和 + 等腰三角形性质推导

4. 例题

例 1：已知圆心角为 80°，求圆周角

∠ABC=12×80°=40°\angle ABC = \frac{1}{2} \times 80° = 40°

例 2：半圆上的圆周角

  • 弧 AB 是半圆 → 对应圆心角 180°
  • 圆周角 = 180° / 2 = 90°
  • 结论：半圆上的圆周角总是直角

5. 小结

  • 圆周角定理公式：圆周角=12圆心角\boxed{\text{圆周角} = \frac{1}{2} \text{圆心角}}
  • 相同弧对圆周角相等
  • 跨半圆圆周角为直角
  • 是解 圆内接多边形、直角三角形、角度计算的重要工具