好的，以下是关于 线性代数中“行列式的性质” 的详细整理，适用于学习笔记、教学讲义或考研复习资料。

🧮 【线性代数】行列式的性质总结

📌 一、前提知识

  • 行列式是一个从矩阵映射到标量的函数，常用符号：
    对于矩阵 A，其行列式记为：∣A∣或者det⁡(A)
  • 仅对方阵定义（n 行 n 列）

✅ 二、基本性质一览

序号性质说明
1️⃣行列式对换行不变(
2️⃣同一行（列）相加不影响其他行列值不变性（线性性）
3️⃣两行或两列互换，行列式变号(
4️⃣某行或某列全为 0，行列式为 0即矩阵秩小于 n 时，行列式为 0
5️⃣某行（列）是另一个行（列）的倍数，行列式为 0线性相关性导致行列式为 0
6️⃣把一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变初等变换之一
7️⃣行（列）全部乘以常数 k，行列式乘以 k如果对第 i 行乘以 k，则整体乘以 k
8️⃣多行（列）同时乘常数 k1,k2,…,kn，则行列式乘以 k1k2…kn
9️⃣上三角或下三角矩阵的行列式为对角线元素之积非常重要！快速计算
🔟单位矩阵的行列式为 1
1️⃣1️⃣行列式可展开（Laplace 定理）可以对任意行或列展开

🔁 三、与矩阵运算相关的性质

性质说明
(AB
(A^{-1}
(kA
(A^T
A 不可逆 ⇔ (A

📐 四、性质举例说明

示例 1：交换两行 → 行列式变号

设：A=[1234],∣A∣=1∗4−2∗3=−2

交换两行后：B=[3412],∣B∣=3∗2−4∗1=2

验证：∣B∣=−∣A∣

示例 2：三角矩阵行列式

A=[21003500−4]⇒∣A∣=2∗3∗(−4)=−24

🧠 五、性质的实际用途

应用场景使用性质
判断矩阵是否可逆若 (
快速计算行列式用行列变换化为上三角矩阵
简化线性代数计算结合线性性和展开式
解线性方程组（克拉默法则）det⁡A 决定唯一解是否存在

📚 六、参考资料

  • 《线性代数》第五版 同济大学版
  • MIT 线性代数公开课（Prof. Gilbert Strang）
  • Khan Academy Linear Algebra Series
  • Linear Algebra on Wikipedia